🔢 数的推理

1. 自然数Nを素因数分解してN = p^a × q^b × r^c（p, q, rは異なる素数）と表すとき、Nの正の約数の個数を求める式として正しいものはどれか。

1. (a+1)(b+1)(c+1)
2. a×b×c
3. (a+b+c)+1
4. a!×b!×c!

素因数分解した際の各素因数の指数に1を加えた数の積が、正の約数の個数となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(整数)／高等学校学習指導要領 数学A)

2. 360の正の約数は全部で何個あるか。

1. 20個
2. 22個
3. 24個
4. 30個

360=2^3×3^2×5と素因数分解でき、約数の個数は(3+1)(2+1)(1+1)=24個となる。 (高等学校学習指導要領 数学A(整数の性質))

3. 2つの自然数a, bの最大公約数をG、最小公倍数をLとするとき、常に成り立つ関係式として正しいものはどれか。

1. a×b = G×L
2. a+b = G+L
3. a×b = G+L
4. a÷b = G÷L

2つの自然数の積は、その最大公約数と最小公倍数の積に等しくなる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(整数))

4. 2つの自然数の最大公約数が6、最小公倍数が180であり、一方の数が36であるとき、もう一方の数はいくらか。

1. 24
2. 30
3. 36
4. 45

最大公約数×最小公倍数=2数の積という関係より、6×180÷36=30となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(最大公約数・最小公倍数))

5. 7で割ると3余り、5で割ると2余る自然数のうち、最小のものはいくらか。

1. 12
2. 17
3. 22
4. 27

7で割って3余る数(3, 10, 17, 24…)のうち、5で割って2余る最小の数は17である。 (畑中敦子『畑中敦子の数的推理の大革命!』エクシア出版(剰余・整数))

6. ある自然数が3の倍数であるための条件として正しいものはどれか。

1. 各位の数字の和が3の倍数である
2. 一の位の数字が3の倍数である
3. 下2桁が3の倍数である
4. 各位の数字の積が3の倍数である

各位の数字の和が3(または9)の倍数であることが、3の倍数であるための判定条件である。 (中学校学習指導要領 数学(整数の性質)／新スーパー過去問ゼミ 数的推理)

7. ある自然数が4の倍数であるための条件として正しいものはどれか。

1. 下2桁が4の倍数である
2. 各位の数字の和が4の倍数である
3. 一の位の数字が4である
4. 上2桁が4の倍数である

100は4の倍数であるため、下2桁(十の位と一の位)が4の倍数であれば元の数も4の倍数となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(倍数判定法))

8. ある自然数Nを6で割ると余りが4であった。このNを3で割ったときの余りはいくらか。

1. 0
2. 1
3. 2
4. 4

N=6k+4=3(2k+1)+1と表せるため、3で割った余りは1となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(剰余の性質))

9. 連続する3つの整数の積が必ず6の倍数になる理由として正しい説明はどれか。

1. 連続する3つの整数には2の倍数と3の倍数が少なくとも1つずつ必ず含まれるため
2. 連続する3つの整数の和が必ず6になるため
3. 連続する3つの整数はすべて偶数になるため
4. 連続する3つの整数のうち中央の数が必ず6の倍数になるため

3つの連続整数には2の倍数が少なくとも1つ、3の倍数が少なくとも1つ含まれるため、積は2×3=6の倍数になる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(整数の性質))

10. 自然数の2乗(平方数)の一の位の数字として現れ得ないものはどれか。

1. 8
2. 9
3. 4
4. 1

平方数の一の位は0, 1, 4, 5, 6, 9のいずれかしか現れず、8になることはない。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(整数の性質))

11. ユークリッドの互除法を用いて1071と462の最大公約数を求めるといくらか。

1. 7
2. 21
3. 33
4. 147

1071=462×2+147、462=147×3+21、147=21×7+0となり、最大公約数は21である。 (高等学校学習指導要領 数学A(ユークリッドの互除法)／新スーパー過去問ゼミ 数的推理)

12. 100!(100の階乗)を計算したとき、末尾に0が連続して並ぶ個数はいくつか。

1. 20個
2. 22個
3. 24個
4. 25個

末尾の0の個数は素因数5の個数で決まり、100÷5=20と100÷25=4を合計した24個となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(整数・階乗))

13. 3x+5y=23を満たす自然数x, y(x, yはともに1以上の整数)の組は何組あるか。

1. 1組
2. 2組
3. 3組
4. 4組

yに1から4までの自然数を代入して確認すると、(x,y)=(6,1)と(1,4)の2組のみが条件を満たす。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(不定方程式))

14. 三角形の面積を求める基本公式として正しいものはどれか。

1. 底辺×高さ÷2
2. 底辺×高さ
3. (底辺+高さ)×2
4. 底辺×高さ÷3

三角形の面積は、底辺と高さの積を2で割ることで求められる。 (中学校学習指導要領 数学(平面図形の計量))

15. 半径rの円の面積を求める公式として正しいものはどれか。

1. π×r×r
2. 2×π×r
3. π×r
4. 4×π×r×r

円の面積は、半径×半径×円周率(πr^2)で求められる。 (中学校学習指導要領 数学(円の計量))

16. 円柱の体積を求める公式として正しいものはどれか。

1. 底面積×高さ
2. 底面積×高さ÷3
3. 側面積×高さ
4. 底面の半径×高さ

角柱・円柱の体積は、底面積に高さを掛けた値になる。 (中学校学習指導要領 数学(空間図形の計量))

17. 半径6cmの円の面積はいくらか。

1. 12πcm^2
2. 18πcm^2
3. 36πcm^2
4. 72πcm^2

面積=π×6×6=36π(cm^2)となる。 (中学校学習指導要領 数学(円の面積))

18. 1辺の長さが6cmの正三角形の面積はいくらか。

1. 6√3 cm^2
2. 9√3 cm^2
3. 12√3 cm^2
4. 18√3 cm^2

正三角形の面積は(1辺)^2×√3/4で求められ、6^2×√3/4=9√3(cm^2)となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(図形の計量))

19. n角形の内角の和を求める公式として正しいものはどれか。

1. 180°×(n−2)
2. 180°×n
3. 360°×(n−2)
4. 90°×(n−2)

多角形はn−2個の三角形に分割できるため、内角の和は180°×(n−2)となる。 (中学校学習指導要領 数学(図形の性質))

20. 正八角形の1つの内角の大きさはいくらか。

1. 120°
2. 135°
3. 140°
4. 150°

内角の和は180°×(8−2)=1080°であり、正八角形は8等分されるため1つの内角は135°となる。 (中学校学習指導要領 数学(多角形の内角))

21. 円に内接する四角形の性質として正しいものはどれか。

1. 対角の和がそれぞれ180°になる
2. 対角の和がそれぞれ90°になる
3. 4つの内角がすべて等しくなる
4. 対辺の長さが必ず等しくなる

円に内接する四角形では、向かい合う内角の和は常に180°になる。 (中学校学習指導要領 数学(円に内接する図形))

22. 円周角の定理に関する記述として正しいものはどれか。

1. 同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分に等しい
2. 同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角と等しい
3. 同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の2倍に等しい
4. 円周角の大きさは弧の位置によって異なり一定ではない

円周角の定理により、同じ弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分の大きさになる。 (中学校学習指導要領 数学(円周角の定理))

23. 半径3cm、中心角120°のおうぎ形の面積はいくらか。

1. πcm^2
2. 2πcm^2
3. 3πcm^2
4. 6πcm^2

おうぎ形の面積=π×3×3×(120/360)=3π(cm^2)となる。 (中学校学習指導要領 数学(おうぎ形の面積))

24. 底面の半径が3cm、高さが4cmの円錐がある。この円錐の体積はいくらか。

1. 9πcm^3
2. 12πcm^3
3. 16πcm^3
4. 36πcm^3

円錐の体積は(1/3)×底面積×高さで求められ、(1/3)×π×3^2×4=12π(cm^3)となる。 (中学校学習指導要領 数学(円錐の体積))

25. 縦3cm、横4cm、高さ12cmの直方体がある。この直方体の対角線(最も長い頂点間の距離)の長さはいくらか。

1. 12cm
2. 13cm
3. 14cm
4. 15cm

直方体の対角線の長さは3辺の2乗の和の平方根で求められ、√(3^2+4^2+12^2)=√169=13(cm)となる。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(空間図形の計量))

26. 半径2cmの球の体積はいくらか。

1. (16/3)πcm^3
2. (32/3)πcm^3
3. 16πcm^3
4. 32πcm^3

球の体積は(4/3)×π×半径^3で求められ、(4/3)×π×2^3=32π/3(cm^3)となる。 (中学校学習指導要領 数学(球の体積))

27. ある学校の生徒480人のうち、女子は全体の45%である。女子の人数として正しいものはどれか。

1. 200人
2. 216人
3. 210人
4. 220人

480人の45%は480×0.45=216人であるから、女子の人数は216人である。 (文部科学省「小学校学習指導要領」算数 第5学年(割合))

28. 定価1500円の商品を2割引きで販売するときの販売価格として正しいものはどれか。

1. 1200円
2. 1350円
3. 1050円
4. 1300円

1500円の2割引きは1500×(1−0.2)=1500×0.8=1200円である。 (文部科学省「小学校学習指導要領」算数 第5学年(割合))

29. 原価800円の商品に3割の利益を見込んで定価をつけたが、売れ行きが悪かったため定価の1割引きで販売した。このときの利益として正しいものはどれか。

1. 120円
2. 136円
3. 150円
4. 144円

定価は800×1.3=1040円、売価は1040×0.9=936円となり、利益は936−800=136円である。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(割合と比))

30. 濃度8%の食塩水300gに水を加えて濃度5%の食塩水にしたい。加える水の量として正しいものはどれか。

1. 150g
2. 200g
3. 180g
4. 120g

食塩の量は300×0.08=24gで一定であり、濃度5%にするには24÷0.05=480gの食塩水が必要なので、加える水は480−300=180gである。 (文部科学省「中学校学習指導要領」数学(一次方程式の利用))

31. 濃度10%の食塩水200gと濃度4%の食塩水300gを混ぜ合わせてできる食塩水の濃度として正しいものはどれか。

1. 6%
2. 7%
3. 6.8%
4. 6.4%

食塩の総量は200×0.1+300×0.04=20+12=32gであり、食塩水全体は500gなので濃度は32÷500×100=6.4%である。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(濃度))

32. ある商品の仕入れ値に3割の利益を見込んで定価をつけたが、売れないため定価の2割引きで販売したところ、104円の利益となった。この商品の仕入れ値として正しいものはどれか。

1. 2400円
2. 2600円
3. 2500円
4. 2700円

仕入れ値をxとすると定価は1.3x、売価は1.3x×0.8=1.04xとなり、利益0.04x=104円よりx=2600円である。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(割合と比))

33. 男女比が3:2である合計200人の団体における男性の人数として正しいものはどれか。

1. 100人
2. 120人
3. 90人
4. 80人

男女比3:2の合計5に対し200人なので、男性は200×3/5=120人である。 (文部科学省「小学校学習指導要領」算数 第6学年(比))

34. 濃度15%の食塩水と濃度5%の食塩水を混ぜて、濃度9%の食塩水を400g作りたい。必要な濃度15%の食塩水の量として正しいものはどれか。

1. 150g
2. 160g
3. 140g
4. 170g

15%の量をagとすると0.15a+0.05(400−a)=400×0.09=36より、0.10a=16、a=160gである。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(濃度))

35. 定価2000円の商品をある割合で値引きして販売したところ、売価が1600円になった。値引き率として正しいものはどれか。

1. 1割5分
2. 2割5分
3. 2割
4. 3割

値引き額は2000−1600=400円で、値引き率は400÷2000=0.2すなわち2割である。 (実務教育出版『公務員試験 新スーパー過去問ゼミ 数的推理』(割合と比))